Clear["Global`*"];

rho:=(({{ρ, -B*(Subscript[R, H])}, {B*(Subscript[R, H]), ρ}}))
Inverse[rho]//MatrixForm

rho1:=(({{(Subscript[ρ, 1]), -B*(Subscript[R, H1])}, {B*(Subscript[R, H1]), (Subscript[ρ, 1])}}))
rho2:=(({{(Subscript[ρ, 2]), -B*(Subscript[R, H2])}, {B*(Subscript[R, H2]), (Subscript[ρ, 2])}}))

Inverse[Inverse[rho1]+Inverse[rho2]]//MatrixForm

(({{((((Subscript[ρ, 1])/((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))+((Subscript[ρ, 2])/((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 1]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+(((B^2) (Subscript[R, H2]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 2]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((2 (B^2) (Subscript[R, H1]) (Subscript[R, H2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))+((2 (Subscript[ρ, 1]) (Subscript[ρ, 2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))))), ((-((B (Subscript[R, H1]))/((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))-((B (Subscript[R, H2]))/((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 1]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+(((B^2) (Subscript[R, H2]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 2]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((2 (B^2) (Subscript[R, H1]) (Subscript[R, H2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))+((2 (Subscript[ρ, 1]) (Subscript[ρ, 2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))))}, {((((B (Subscript[R, H1]))/((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))+((B (Subscript[R, H2]))/((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 1]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+(((B^2) (Subscript[R, H2]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 2]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((2 (B^2) (Subscript[R, H1]) (Subscript[R, H2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))+((2 (Subscript[ρ, 1]) (Subscript[ρ, 2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))))), ((((Subscript[ρ, 1])/((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))+((Subscript[ρ, 2])/((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 1]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)))^2))+(((B^2) (Subscript[R, H2]^2))/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((Subscript[ρ, 2]^2)/((((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2)))^2))+((2 (B^2) (Subscript[R, H1]) (Subscript[R, H2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))+((2 (Subscript[ρ, 1]) (Subscript[ρ, 2]))/(((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]^2)) ((B^2) (Subscript[R, H2]^2)+(Subscript[ρ, 2]^2))))))}}))

FullSimplify[Inverse[Inverse[rho1]+Inverse[rho2]]]//MatrixForm

(({{(((B^2) (Subscript[R, H2]^2) (Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2]) ((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]) ((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2]))))/((B^2) ((((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2])))^2)+((((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2])))^2))), -((B (Subscript[R, H2]) ((B^2) (Subscript[R, H1]) ((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2]))+(Subscript[ρ, 1]^2))+B (Subscript[R, H1]) (Subscript[ρ, 2]^2))/((B^2) ((((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2])))^2)+((((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2])))^2)))}, {((B (Subscript[R, H2]) ((B^2) (Subscript[R, H1]) ((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2]))+(Subscript[ρ, 1]^2))+B (Subscript[R, H1]) (Subscript[ρ, 2]^2))/((B^2) ((((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2])))^2)+((((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2])))^2))), (((B^2) (Subscript[R, H2]^2) (Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2]) ((B^2) (Subscript[R, H1]^2)+(Subscript[ρ, 1]) ((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2]))))/((B^2) ((((Subscript[R, H1])+(Subscript[R, H2])))^2)+((((Subscript[ρ, 1])+(Subscript[ρ, 2])))^2)))}}))